Calcolatore Del Prodotto Tra Matrici

Definizione: Supponiamo che \(A=[a_{ik}]\) e \(B=[b_{kj}]\) siano matrici tali che il numero di colonne di \(A\) sia uguale al numero di righe di \(B\); diciamo che \(A\) è una matrice \(m \times p\) e \(B\) è una matrice \(p \times n\). Dunque, il prodotto AB è la matrice \(m \times n\) il cui elemento ij è il prodotto scalare della \(i\)-esima riga di \(A\) per la \(j\)-esima colonna di \(B\). Ovvero:

\(\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1p}\\ . & \dots & .\\ a_{i1} & \dots & a_{ip}\\ . & \dots & .\\ a_{m1} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \) \(\begin{bmatrix} b_{11} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n}\\ . & \dots & . & \dots & .\\ . & \dots & . & \dots & .\\ b_{p1} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix} = \) \(\begin{bmatrix} c_{11} & \dots & c_{1n}\\ . & \dots & .\\ . & c_{ij} & .\\ . & \dots & .\\ c_{m1} & \dots & c_{mn}\\ \end{bmatrix}\) dove
\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{ip}b_{pj}\).

Alcuni teoremi che possono facilitare i calcoli del prodotto tra matrici:

a) \((AB)C = A(BC)\);
b) \(A(B+C) = AB + AC\);
c) \(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)