Definizione: Il determinante della matrice quadrata \(A=[a_{ij}]\), indicato con \(det(A)\) o \(|A|\), è definito come:
\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\)
\(a_{11} \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{32} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}-\)
\(a_{12} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}+\)
\(\dots \pm \)
\(a_{1n} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2(n-1)}\\
a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3(n-1)}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n(n-1)}
\end{vmatrix}\)
Di seguito sono riportati alcuni teoremi che possono facilitare i calcoli dei determinanti della matrice. Sia \(A\) una matrice quadrata:
a) Se il determinante di /(A/) e il determinante della sua trasposta sono gli stessi, allora \(det(A)=det(A^T)\);
b) Se /(A/) ha una riga o una colonna di zeri, allora \( det(A) = 0 \);
c) Se /(A/) ha due righe (o colonne) identiche, allora \( det(A) = 0 \);
d) \(det(AB) = det(A)det(B)\).
