Calculateur de Produit Matriciel

Définition: Supposons que \(A=[a_{ik}]\) et \(B=[b_{kj}]\) sont des matrices telles que le nombre de colonnes de \(A\) est le même que le nombre de lignes de \(B\); Disons que \(A\) est la matrice \(m \times p\) et \(B\) est une matrice \(p \times n\). Alors le produit \(AB\) est la matrice \(m \times n\) dont l’entrée \(ij\) est obtenue en multipliant la \(i\)-ème ligne de \(A\) par la \(j\)-ème colonne de \(B\). C’est-à-dire :

\(\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1p}\\ . & \dots & .\\ a_{i1} & \dots & a_{ip}\\ . & \dots & .\\ a_{m1} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \) \(\begin{bmatrix} b_{11} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n}\\ . & \dots & . & \dots & .\\ . & \dots & . & \dots & .\\ b_{p1} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix} = \) \(\begin{bmatrix} c_{11} & \dots & c_{1n}\\ . & \dots & .\\ . & c_{ij} & .\\ . & \dots & .\\ c_{m1} & \dots & c_{mn}\\ \end{bmatrix}\) D’où:
\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{ip}b_{pj}\).

Quelques théorèmes qui peuvent faciliter les calculs de multiplication matricielle:

a) \((AB)C = A(BC)\);
b) \(A(B+C) = AB + AC\);
c) \(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)