Définition: Une Déterminante de la matrice carrée \(A=[a_{ij}]\), désigné par \(det(A)\) ou \(|A|\), est défini comme suit:
\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\)
\(a_{11} \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{32} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}-\)
\(a_{12} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}+\)
\(\dots \pm \)
\(a_{1n} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2(n-1)}\\
a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3(n-1)}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n(n-1)}
\end{vmatrix}\)
Voici quelques théorèmes qui peuvent faciliter le calcul des déterminants matriciels. Soit \(A\) une matrice carrée:
a) Le déterminant de \(A\) et le déterminant de sa transposée sont les mêmes \(det(A)=det(A^T)\);
b) Si \(A\) a une ligne ou une colonne de zéros, alors \(det(A)=0\);
c) Si \(A\) a deux lignes (ou colonnes) identiques, alors \(det(A)=0\);
d) \(det(AB)=det(A)det(B)\).
