Definición: El determinante de una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\), que se escribe como \(det(A)\) o \(|A|\), se define como:
\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\)
\(a_{11} \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{32} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}-\)
\(a_{12} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{33} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n3} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix}+\)
\(\dots \pm \)
\(a_{1n} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2(n-1)}\\
a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3(n-1)}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n(n-1)}
\end{vmatrix}\)
Algunos teoremas que pueden facilitar los cálculos de la determinante de una matriz. Sea \(A\) una matriz cuadrada:
a) El determinante de \(A\) y el determinante de su matriz traspuesta son iguales, \(det(A)=det(A^T)\);
b) Si \(A\) tiene una fila o columna de ceros, entonces el \( det(A) = 0 \);
c) Si \(A\) tiene dos filas idénticas (o columnas), entonces el \( det(A) = 0 \);
d) \(det(AB) = det(A)det(B)\).
